توزيعات بحرف الياء

توزيعات بحرف الياء

تُعرف التوزيعات الإحصائية بأنها وصف لأشكال مختلفة من المتغيرات، وحرف الياء يُستخدم للإشارة إلى المتغير العشوائي في التوزيعات الاحتمالية.

توزيع المتغير العشوائي المنفصل

يأخذ المتغير العشوائي المنفصل عددًا محدودًا من القيم، ويُمثل توزيعه بكتلة الاحتمال:

توزيع برنولي: متغير عشوائي ثنائي يأخذ قيمتين فقط، النجاح والفشل.

توزيع ذي الحدين: تعداد تجارب ناجحة في n تجربة مستقلة، كل منها له احتمال نجاح p.

توزيع هندسي: عدد التجارب المستقلة حتى حدوث النجاح الأول.

توزيع المتغير العشوائي المستمر

يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة ضمن نطاقه، ويُمثل توزيعه بدالة كثافة الاحتمال:

توزيع موحد: متغير عشوائي يأخذ أي قيمة ضمن نطاق محدد.

توزيع أسس: متغير عشوائي غير سالب ذو دالة كثافة تتناسب مع الأسس السالبة للقوة.

توزيع جاما: متغير عشوائي غير سالب ذو شكل ودالة كثافة تتناسب مع الأسس السالبة للقوة مضروبة في الأسس السالبة للقوة.

توزيع المتغير العشوائي المنفصل والمتصل

توزيع سلبي ذي الحدين: تعداد التجارب الفاشلة في n تجربة مستقلة حتى حدوث r نجاح.

توزيع بواسون: عدد الأحداث التي تحدث في فترة زمنية محددة بمعدل ثابت.
توزيع ويلبول: متغير عشوائي غير سالب ذو دالة كثافة تتناسب مع الأسس السالبة للقوة ومضروبة في الأسس السالبة للقوة.

تطبيقات توزيعات المتغير العشوائي

تُستخدم توزيعات المتغير العشوائي على نطاق واسع في مجالات مختلفة، منها:

الإحصاء: نمذجة البيانات وتحليلها.
التمويل: تحديد المخاطر وتقييمها.

الهندسة: تصميم الأنظمة وتحليلها.

الفيزياء: نمذجة الظواهر العشوائية.

الحيوية: التحليل الإحصائي للبيانات البيولوجية.

خصائص توزيعات المتغير العشوائي

تُحدد خصائص توزيع المتغير العشوائي شكله، مثل:

المتوسط: متوسط قيم المتغير.
التباين: قياس التشتت حول المتوسط.

الانحراف المعياري: الجذر التربيعي للتباين.

الدالة المولدة للمتوسطات: دالة توليد دوال لحظات التوزيع.

دالة اللحظات: دوال تصف توزيع المتغير.

اختبار الفرضيات حول توزيعات المتغير العشوائي

غالبًا ما يُختبر ما إذا كانت البيانات تتبع توزيعًا معينًا باستخدام اختبارات الفرضيات:

اختبار مربع كاي: اختبار للتوزيعات المنفصلة.

اختبار كولموغوروف-سميرنوف: اختبار للتوزيعات المستمرة.

اختبار الرتب: اختبار لا يفترض أي توزيع أساسي محدد.

استنتاج

تُعد توزيعات المتغير العشوائي أدوات أساسية في الإحصاء والاحتمالات، وتُستخدم لنمذجة مجموعة واسعة من الظواهر العشوائية. توفر توزيعات المتغير العشوائي المعلومات اللازمة لاتخاذ القرارات واتخاذ الاستنتاجات حول البيانات التي يتم ملاحظتها.