توزيعات حرف الميم

توزيعات حرف الميم

مقدمة

توزيع حرف الميم هو أحد أهم التوزيعات المستخدمة في الإحصاء، وهو يمثل توزيع المتغير العشوائي الذي يأخذ قيما محدودة أو متقطعة. ويمكن تمثيل توزيع حرف الميم من خلال دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة به، والتي تعطى بالصيغة.

$P(X=x) = \frac\mu^x e^-\mux! $

حيث x تشير إلى القيمة التي يأخذها المتغير العشوائي، و μ هي معامل توزيع حرف الميم.

الخصائص

توزيع بواسون

وهو أبسط توزيع حرف الميم، حيث يأخذ المتغير العشوائي قيما طبيعية موجبة (0, 1, 2, …)، ويتميز بأحاديته، حيث أن المتوسط والتباين متساويان. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون بالصيغة.

$P(X=x) = \frac\lambda^x e^-\lambdax! $

حيث λ هي معامل توزيع بواسون.

التوزيع ثنائي الحالات

يصف هذا التوزيع عدد النجاحات في تجربة برنولي مع عدد ثابت من التجارب، ويتميز بثنائيته، حيث أن المتوسط والتباين مختلفان. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ثنائي الحالات بالصيغة.

$P(X=x) = \binomnx p^x q^n-x $

حيث n هو عدد التجارب، و p هي احتمال النجاح في كل تجربة، و q=1-p.

التوزيع الهندسي

يصف هذا التوزيع عدد التجارب المستقلة اللازمة حتى حدوث أول نجاح، ويتميز باحتماله المتناقص لحدوث النجاح مع زيادة عدد التجارب. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع الهندسي بالصيغة.

$P(X=x) = (1-p)^x p $

حيث p هي احتمال النجاح في كل تجربة.

التوزيع السلبي ثنائي الحالات

يصف هذا التوزيع عدد النجاحات في تجربة برنولي مع عدد متغير من التجارب، وهو يستخدم لنمذجة متغيرات مثل وقت الانتظار حتى حدوث عدد معين من الأحداث. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع السلبي ثنائي الحالات بالصيغة.

$P(X=x) = \binomx+r-1x p^r q^x $

حيث r هو عدد النجاحات المطلوبة، و p هي احتمال النجاح في كل تجربة، و q=1-p.

التوزيع الهندسي السلبي

يصف هذا التوزيع عدد التجارب المستقلة اللازمة حتى حدوث عدد معين من النجاحات، وهو يستخدم لنمذجة متغيرات مثل الوقت المستغرق حتى حدوث عدد معين من الأحداث. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع الهندسي السلبي بالصيغة.

$P(X=x) = \frac\Gamma(x+r)\Gamma(x+1) \Gamma(r) p^r q^x $

حيث r هو عدد النجاحات المطلوبة، و p هي احتمال النجاح في كل تجربة، و q=1-p.

التوزيع فوق هندسي

يصف هذا التوزيع عدد النجاحات في تجربة استخلاص بدون إعادة من مجموعة محدودة الحجم تتكون من عنصرين مختلفين، وهو يستخدم لنمذجة متغيرات مثل عدد العناصر الناجحة في عينة عشوائية. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع فوق هندسي بالصيغة.

$P(X=x) = \frac\binomMx \binomN-Mn-x\binomNn $

حيث M هو عدد العناصر الناجحة في المجموعة الأصلية، و N هو حجم المجموعة الأصلية، و n هو حجم العينة.

التوزيع متعدد الحدود

يصف هذا التوزيع عدد النجاحات في تجربة برنولي مع عدد ثابت من التجارب وعدد محدود من الفئات الممكنة، وهو يستخدم لنمذجة متغيرات مثل عدد النتائج المختلفة في تجربة نرد. ويمكن تمثيل دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع متعدد الحدود بالصيغة.

$P(X_1=x_1, X_2=x_2, …, X_k=x_k) = \fracn!x_1! x_2! … x_k! p_1^x_1 p_2^x_2 … p_k^x_k $

حيث n هو عدد التجارب، و p_i هو احتمال وقوع الفئة i، و x_i هو عدد مرات وقوع الفئة i.

التطبيقات

تتعدد تطبيقات توزيعات حرف الميم في العديد من المجالات، بما في ذلك:

علم الأحياء: عدد البكتيريا في عينة، عدد الطفرات الجينية.
الاقتصاد: عدد المعاملات في يوم واحد، عدد المنتجات المباعة في أسبوع.

الهندسة: عدد العيوب في منتج، عدد الأخطاء في برنامج كمبيوتر.

علم الاجتماع: عدد الجرائم في منطقة معينة، عدد الزيجات في عام واحد.

الخلاصة

توزيعات حرف الميم هي مجموعة مهمة من التوزيعات الإحصائية المستخدمة لنمذجة المتغيرات العشوائية المتقطعة. وتتميز بخصائصها المختلفة وتطبيقاتها المتنوعة في العديد من المجالات. يمكن اختيار توزيع حرف الميم المناسب لنمذجة مجموعة البيانات بناءً على خصائص المتغير العشوائي والمعلومات المتاحة.