نموذج فصل تابع

نموذج فصل تابع

يُعرَّف فصل تابع بأنه القيمة الناتجة لقسمة متعدد حدود على متعدد حدود آخر، مع العلم أنه لا يمكن قسمة متعدد حدود على صفر.

شروط قسمة المتعددات

حتى يمكننا إجراء عملية قسمة متعدد الحدود، يجب أن تتوافر الشروط الآتية:

• يجب أن يكون المتعدد الحدود المقسوم والمقسوم عليه غير منعدمين.
• يجب أن تكون درجة المتعدد المقسوم أكبر من درجة المقسوم عليه.

خطوات قسمة المتعددات

تُجرى قسمة المتعددات وفق الخطوات التالية:

1. نقسم أول حد من المتعدد المقسوم على أول حد من المتعدد المقسوم عليه، ونضع الناتج في القسم.
2. نضرب المقسوم عليه في الناتج الذي وضعناه في القسم، ونطرح الناتج من المتعدد المقسوم.
3. ننزل أول حد من باقي القسمة، ونكرر الخطوتين الأولى والثانية، وهكذا حتى نصل إلى باقٍ لا يمكن قسمته.

أنواع قسمة المتعددات

تنقسم عملية قسمة المتعددات إلى نوعين أساسيين، هما:

• القسمة الطويلة: وهي القسمة التي نستخدمها لقسمة متعددات الدرجة العالية.
• القسمة الصناعية: وهي القسمة التي نستخدمها لقسمة متعددات الدرجة الثانية.

تقسيم قسمة المتعددات

تنقسم قسمة المتعددات إلى الأقسام التالية:

1. القسم: وهو الناتج الذي نحصل عليه من قسمة المتعدد المقسوم على المتعدد المقسوم عليه.
2. الباقي: وهو المتعدد الذي لا يمكن قسمته بعد إجراء عملية القسمة.
3. المخارج: وهي المتعددات التي نحصل عليها من قسمة المتعدد المقسوم على المقسوم عليه.

تطبيقات قسمة المتعددات

تُستخدم قسمة المتعددات في العديد من التطبيقات الرياضية، ومنها:

• إيجاد جذر متعدد الحدود.
• إيجاد مقام كسر جبري.
• إيجاد معاملات متعدد حدود من معادلة جبرية.

أمثلة على قسمة المتعددات

المثال الأول:

أوجد القسم والباقي من قسمة المتعدد الحدود:
$x^3 – 2x^2 + 3x – 4$
على المتعدد الحدود:
$x – 1$

الحل:
$
\beginarraycccccc
& x^2 & -x & +2 & & \\\
x-1 & x^3 & -x^2 & & & \\\
\hline
& & x^2 & -2x & & \\\
& & x^2 & -x & & \\\
\hline
& & & -x & +4 & \\\
\endarray
$
إذن، القسم هو: $x^2 – x + 2$
و الباقي هو: $-x + 4$

المثال الثاني:

أوجد القسم والباقي من قسمة المتعدد الحدود:
$2x^3 + 3x^2 – 5x + 1$
على المتعدد الحدود:
$x^2 – 1$

الحل:
$
\beginarraycccccc
& 2x & +1 & & & \\\
x^2-1 & 2x^3 & +3x^2 & & & \\\
\hline
& & -x^2 & -5x & & \\\
& & -x^2 & +x & & \\\
\hline
& & & -6x & +1 & \\\
\endarray
$
إذن، القسم هو: $2x + 1$
و الباقي هو: $-6x + 1$